5. Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, а длина отрезка, соединяющего середины оснований трапеции, равна 3. Найдите длину средней линии трапеции.

Обозначим основания трапеции через a и b, а горизонтальное смещение верхнего основания относительно нижнего — через x. Пусть высота трапеции равна h. Тогда направляющие векторы диагоналей можно записать как (x + b, h) и (x − a, h).

Из перпендикулярности диагоналей следует (x + b)(x − a) + h² = 0.

Вектор, соединяющий середины оснований, имеет компоненты (x + (b − a)/2, h). Используя соотношение перпендикулярности, получаем, что квадрат длины этого отрезка равен ((a + b)/2)². Следовательно, длина отрезка, соединяющего середины оснований, равна средней линии трапеции.

Этот отрезок равен 3, значит средняя линия также равна 3.

Ответ: 3.