5. Длины векторов $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$ равны $$7\sqrt{3}$$ и 4, а угол между ними равен 150°. Найти скалярное произведение $$\vec{a} \cdot \vec{b}$$

Решение:

Скалярное произведение двух векторов находится по формуле:

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$$

где $$|\vec{a}|$$ и $$|\vec{b}|$$ — длины векторов, а $$\alpha$$ — угол между ними.

Подставляем данные значения:

$$|\vec{a}| = 7\sqrt{3}$$

$$|\vec{b}| = 4$$

$$\alpha = 150°$$

$$\cos(150°) = \cos(180° - 30°) = -\cos(30°) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = (7\sqrt{3}) \cdot 4 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 28\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = -\frac{28 \cdot 3}{2} = -14 \cdot 3 = -42$$

Ответ: -42