5. Доказать, что число $a=4n^3+6n^2+5n+21$ делится на 3 при любом натуральном $n$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. Доказать, что число $a=4n^3+6n^2+5n+21$ делится на 3 при любом натуральном $n$.$ Фото задания

5. Доказать, что число $a=4n^3+6n^2+5n+21$ делится на 3 при любом натуральном $n$.

Accepted Answer

Рассмотрим выражение по модулю 3: $4\equiv1$, $6\equiv0$, $5\equiv2$, а $21\equiv0$. Значит,

\[a\equiv n^3+2n=n(n^2-1)=n(n-1)(n+1)\pmod 3.\]

Среди трёх последовательных целых чисел $n-1,n,n+1$ одно делится на 3. Поэтому их произведение делится на 3, откуда $a$ делится на 3 при любом натуральном $n$.

Ответ: утверждение доказано.

5. Доказать, что число \(a=4n^3+6n^2+5n+21\) делится на 3 при любом натуральном \(n\).

Ответ: