5. Доказать тождество: \( \frac{\sqrt{2}\cos \alpha - 2\cos(\frac{\pi}{4} - \alpha)}{2\sin(\frac{\pi}{6} + \alpha) - \sqrt{3}\sin \alpha} = -\sqrt{2}\operatorname{tg} \alpha \)

Доказательство:

Преобразуем числитель левой части:

\( \sqrt{2}\cos \alpha - 2\cos(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \sqrt{2}\cos \alpha - 2(\cos \frac{\pi}{4} \cos \alpha + \sin \frac{\pi}{4} \sin \alpha) \)

\( = \sqrt{2}\cos \alpha - 2(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha) = \sqrt{2}\cos \alpha - \sqrt{2}\cos \alpha - \sqrt{2}\sin \alpha = -\sqrt{2}\sin \alpha \)

Преобразуем знаменатель левой части:

\( 2\sin(\frac{\pi}{6} + \alpha) - \sqrt{3}\sin \alpha = 2(\sin \frac{\pi}{6} \cos \alpha + \cos \frac{\pi}{6} \sin \alpha) - \sqrt{3}\sin \alpha \)

\( = 2(\frac{1}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha) - \sqrt{3}\sin \alpha = \cos \alpha + \sqrt{3}\sin \alpha - \sqrt{3}\sin \alpha = \cos \alpha \)

Теперь подставим полученные выражения в левую часть тождества:

\( \frac{-\sqrt{2}\sin \alpha}{\cos \alpha} = -\sqrt{2}\operatorname{tg} \alpha \)

Левая часть тождества равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.