5. Докажите, что биссектрисы углов прямоугольника с неравными сторонами при пересечении образуют квадрат.

Пусть стороны прямоугольника равны a и b, где a ≠ b. Все его углы прямые, поэтому каждая биссектриса образует со сторонами угол 45°.

Рассмотрим точки пересечения соседних биссектрис. Они лежат на биссектрисах двух углов, расположенных у одной стороны прямоугольника. В образованном треугольнике углы при вершинах прямоугольника равны 45°, поэтому его третий угол равен 90°. Следовательно, соседние биссектрисы перпендикулярны.

Из симметрии относительно середины прямоугольника следует, что расстояния между соседними точками пересечения биссектрис равны: каждое такое расстояние выражается как половина разности длин сторон прямоугольника. Значит, полученный четырёхугольник имеет равные стороны и прямой угол.

Четырёхугольник с равными сторонами и прямым углом — квадрат. Условие a ≠ b гарантирует, что биссектрисы соседних углов пересекаются внутри прямоугольника, а полученный квадрат невырожденный.