5. Докажите, что данное уравнение имеет целые корни, и найдите их: \(x^2 = (\sqrt{6}+2\sqrt{5}-\sqrt{6}-2\sqrt{5})^2\) и \(x^2 = (\sqrt{7}-2\sqrt{6}-\sqrt{7}+2\sqrt{6})^2\).

Решение:

Рассмотрим первое уравнение: \(x^2 = (\sqrt{6}+2\sqrt{5}-\sqrt{6}-2\sqrt{5})^2\).
Упростим выражение в скобках:
\(\sqrt{6}+2\sqrt{5}-\sqrt{6}-2\sqrt{5} = 0\).
Тогда \(x^2 = 0^2\), что означает \(x^2 = 0\).
Следовательно, \(x = 0\). Это целый корень.

Рассмотрим второе уравнение: \(x^2 = (\sqrt{7}-2\sqrt{6}-\sqrt{7}+2\sqrt{6})^2\).
Упростим выражение в скобках:
\(\sqrt{7}-2\sqrt{6}-\sqrt{7}+2\sqrt{6} = 0\).
Тогда \(x^2 = 0^2\), что означает \(x^2 = 0\).
Следовательно, \(x = 0\). Это целый корень.

Ответ: Оба уравнения имеют целый корень \(x=0\).