5. Докажите, что данное уравнение имеет целые корни, и найдите их: $x^2=(\sqrt{6+2\sqrt5}-\sqrt{6-2\sqrt5})^2$; $x^2=(\sqrt{7-2\sqrt6}-\sqrt{7+2\sqrt6})^2$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. Докажите, что данное уравнение имеет целые корни, и найдите их: $x^2=(\sqrt{6+2\sqrt5}-\sqrt{6-2\sqrt5})^2$;…$ Фото задания

5. Докажите, что данное уравнение имеет целые корни, и найдите их: $x^2=(\sqrt{6+2\sqrt5}-\sqrt{6-2\sqrt5})^2$; $x^2=(\sqrt{7-2\sqrt6}-\sqrt{7+2\sqrt6})^2$.

Accepted Answer

Первое уравнение. Заметим, что $6+2\sqrt5=(\sqrt5+1)^2$, а $6-2\sqrt5=(\sqrt5-1)^2$. Поскольку $\sqrt5>1$, соответствующие корни равны $\sqrt5+1$ и $\sqrt5-1$.

Тогда $x^2=((\sqrt5+1)-(\sqrt5-1))^2=2^2=4$, поэтому $x=\pm2$. Оба корня целые.

Второе уравнение. Имеем $7-2\sqrt6=(\sqrt6-1)^2$ и $7+2\sqrt6=(\sqrt6+1)^2$. Так как $\sqrt6>1$, корни под знаками радикалов равны $\sqrt6-1$ и $\sqrt6+1$.

Тогда $x^2=((\sqrt6-1)-(\sqrt6+1))^2=(-2)^2=4$, поэтому $x=\pm2$. Оба корня целые.

Ответ: в каждом уравнении корни $x=-2$ и $x=2$.

5. Докажите, что данное уравнение имеет целые корни, и найдите их: \(x^2=(\sqrt{6+2\sqrt5}-\sqrt{6-2\sqrt5})^2\); \(x^2=(\sqrt{7-2\sqrt6}-\sqrt{7+2\sqrt6})^2\).

Ответ: