5. Докажите, что если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.

Пусть ABCD — параллелограмм, в котором AC = BD. Рассмотрим треугольники ABC и BAD.

1. AB — общая сторона.
2. BC = AD, поскольку противоположные стороны параллелограмма равны.
3. AC = BD по условию.
4. Следовательно, треугольники ABC и BAD равны по трём сторонам. Значит, ∠ABC = ∠BAD.
5. Эти углы — соседние углы параллелограмма, поэтому их сумма равна 180°. Равные соседние углы в сумме дают 180° только тогда, когда каждый равен 90°.

Значит, у параллелограмма есть прямой угол, следовательно, все его углы прямые. Поэтому он является прямоугольником.