5. Докажите, что если в четырёхугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Пусть диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O, причём AO = OC и BO = OD.

1. Треугольники AOB и COD равны по двум сторонам и углу между ними: AO = OC, BO = OD, а ∠AOB = ∠COD как вертикальные углы.
2. Из равенства треугольников следует, что ∠ABO = ∠CDO. Это накрест лежащие углы при прямых AB и CD и секущей BD, значит AB ∥ CD.
3. Треугольники AOD и COB также равны по двум сторонам и углу между ними: AO = OC, OD = OB, а ∠AOD = ∠COB как вертикальные углы.
4. Следовательно, ∠ADO = ∠CBO. Это накрест лежащие углы при прямых AD и BC и секущей BD, значит AD ∥ BC.

У четырёхугольника обе пары противоположных сторон параллельны, следовательно, ABCD — параллелограмм.