5. Докажите, что при всех значениях $y\ne\pm3$ значение выражения $\frac{2y}{y+3}+(y-3)^2\cdot\left(\frac{2}{9-6y+y^2}+\frac{1}{9-y^2}\right)$ не зависит от $y$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. Докажите, что при всех значениях $y\ne\pm3$ значение выражения…$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим знаменатели на множители: $9-6y+y^2=(y-3)^2$, а $9-y^2=-(y-3)(y+3)$. Учитывая условие $y\ne\pm3$, преобразуем выражение:

$\frac{2y}{y+3}+(y-3)^2\left(\frac{2}{(y-3)^2}-\frac{1}{(y-3)(y+3)}\right)$

$=\frac{2y}{y+3}+2-\frac{y-3}{y+3}=2+\frac{2y-y+3}{y+3}=2+1=3$.

Получили постоянное значение, не зависящее от $y$.

Ответ: выражение при всех допустимых значениях $y$ равно 3.

5. Докажите, что при всех значениях \(y\ne\pm3\) значение выражения \(\frac{2y}{y+3}+(y-3)^2\cdot\left(\frac{2}{9-6y+y^2}+\frac{1}{9-y^2}\right)\) не зависит от \(y\).