5. Докажите, что выражение (а-4)(а+8)-4(а-9) при любом а принимает положительное значение.

Решение:

Раскроем скобки и упростим выражение:

\( (a-4)(a+8) - 4(a-9) = (a^2 + 8a - 4a - 32) - (4a - 36) \)

\( = a^2 + 4a - 32 - 4a + 36 \)

\( = a^2 + 4 \)

Так как \( a^2 \) всегда неотрицательно ( \( a^2 \ge 0 \) ) для любого действительного числа \( a \), то \( a^2 + 4 \) всегда будет больше нуля.

\( a^2 \ge 0 \Rightarrow a^2 + 4 \ge 4 \)

Следовательно, выражение \( (a-4)(a+8)-4(a-9) \) при любом \( a \) принимает положительное значение, а именно большее или равное 4.

Что и требовалось доказать.