7. При каком значении b многочлен стандартного вида, тождественно равный произведению (x²+2x-3)(x-b), не содержит x²?

Решение:

Чтобы многочлен, тождественно равный произведению \( (x^2+2x-3)(x-b) \), не содержал член \( x^2 \), коэффициент при \( x^2 \) должен быть равен нулю. Раскроем скобки:

\( (x^2+2x-3)(x-b) = x^2 \cdot x + x^2 \cdot (-b) + 2x \cdot x + 2x \cdot (-b) - 3 \cdot x - 3 \cdot (-b) \)

\( = x^3 - bx^2 + 2x^2 - 2bx - 3x + 3b \)

Сгруппируем члены с одинаковыми степенями \( x \):

\( = x^3 + (-b+2)x^2 + (-2b-3)x + 3b \)

Нас интересует коэффициент при \( x^2 \), который равен \( -b+2 \). Чтобы многочлен не содержал \( x^2 \), этот коэффициент должен быть равен нулю:

\( -b + 2 = 0 \)

\( -b = -2 \)

\( b = 2 \)

Ответ: При \( b=2 \).