5. Докажите, что выражение x² - 4x + 9 при всех значениях х принимает положительные значения.

5. Доказательство положительности выражения:

Рассмотрим квадратный трёхчлен \( x^2 - 4x + 9 \). Чтобы доказать, что он принимает положительные значения при всех \( x \), можно представить его в виде суммы квадрата двучлена и положительного числа.

Выделим полный квадрат:

1. Возьмём первые два члена: \( x^2 - 4x \). Чтобы это было началом квадрата суммы \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) или квадрата разности \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \), нужно определить \( b \).
2. Здесь \( a = x \) и \( 2ab = -4x \), значит \( 2xb = -4x \), откуда \( b = -2 \).
3. Тогда \( b^2 = (-2)^2 = 4 \).
4. Перепишем исходное выражение, добавив и вычтя \( 4 \): \( x^2 - 4x + 4 - 4 + 9 \)
5. Сгруппируем первые три члена, которые образуют квадрат разности: \( (x^2 - 4x + 4) + 5 \)
6. Получаем: \( (x - 2)^2 + 5 \)

Теперь проанализируем полученное выражение:

• Квадрат любого действительного числа \( (x - 2)^2 \) всегда неотрицателен, то есть \( (x - 2)^2 ≥ 0 \) для любого \( x \).
• При добавлении положительного числа \( 5 \) к неотрицательному выражению \( (x - 2)^2 \), результат всегда будет положительным: \( (x - 2)^2 + 5 ≥ 0 + 5 = 5 \).

Таким образом, выражение \( x^2 - 4x + 9 \) принимает значения, большие или равные 5, что означает, что оно всегда положительно для всех действительных значений \( x \).

Доказано.