5. Докажите, что значение выражения 2/(3 + 2√3) + 2/(3 − 2√3) есть число рациональное.

Сложим дроби, приведя их к общему знаменателю:

\[\frac{2}{3+2\sqrt{3}}+\frac{2}{3-2\sqrt{3}}=\frac{2(3-2\sqrt{3})+2(3+2\sqrt{3})}{(3+2\sqrt{3})(3-2\sqrt{3})}.\]

В числителе слагаемые с корнем сокращаются: \(2(3-2\sqrt{3})+2(3+2\sqrt{3})=12\). В знаменателе применяем разность квадратов: \(3^2-(2\sqrt{3})^2=9-12=-3\).

Следовательно, значение выражения равно \(\frac{12}{-3}=-4\), а это рациональное число.

Ответ: выражение равно \(-4\), следовательно, рационально.