5. Докажите, что значение выражения (m – целое число) не зависит от m: \(\frac{21^m}{3^{m-1} \cdot 7^{m+1}}\)

Доказательство:

Преобразуем выражение, используя свойства степеней:

\( \frac{21^m}{3^{m-1} \cdot 7^{m+1}} = \frac{(3 \cdot 7)^m}{3^{m-1} \cdot 7^{m+1}} = \frac{3^m \cdot 7^m}{3^{m-1} \cdot 7^{m+1}} \)

Теперь разделим степени с одинаковыми основаниями:

\( = 3^{m - (m-1)} \cdot 7^{m - (m+1)} = 3^{m - m + 1} \cdot 7^{m - m - 1} = 3^1 \cdot 7^{-1} \)

Преобразуем результат:

\( = 3 \cdot \frac{1}{7} = \frac{3}{7} \)

Полученное значение \(\frac{3}{7}\) не содержит переменной \(m\), следовательно, оно не зависит от \(m\).

Доказано.