5. Докажите неравенства: 1) (1/4)^(-3/2) < (1/27)^(-2/3); 2) 3^(1/3) > 4^(1/4) > 5^(1/5); 3) 2003^(1/2)+2005^(1/2)<2·2004^(1/2); 4) 2^(1/100)+101^(-1)>1.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

\((1/4)^{-3/2}=4^{3/2}=8\), а \((1/27)^{-2/3}=27^{2/3}=9\). Следовательно, \(8<9\).
Возводим положительные числа в степень 12: \(3^4=81>64=4^3\), поэтому \(3^{1/3}>4^{1/4}\). Далее \(4^3=64>25=5^2\), поэтому \(4^{1/4}>5^{1/5}\).
Функция \(y=\sqrt{x}\) вогнута, поэтому для различных чисел 2003 и 2005 выполняется неравенство среднего: \(\sqrt{2003}+\sqrt{2005}<2\sqrt{(2003+2005)/2}=2\sqrt{2004}\).
\(2^{1/100}>1\), а \(101^{-1}>0\). Значит, сумма \(2^{1/100}+101^{-1}>1\).

Ответ: