6. Решите уравнения, построив графики степенных функций (или их комбинаций), стоящих в левой и правой частях: 1) x³=2−x; 2) 2x³=(1/2)x+15; 3) 3x³=|x−4|; 4) x⁴=5x+6; 5) 1/x=(3/4)(x+5/3)²; 6) 4/x²=x−1.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

\(x^3=2-x\Rightarrow x^3+x-2=0\). Корень \(x=1\); разложение: \((x-1)(x^2+x+2)=0\). Ответ: \(x=1\).
\(2x^3=\dfrac12x+15\Rightarrow4x^3-x-30=0\). \(x=2\) — корень, причём \(4x^3-x-30=(x-2)(4x^2+8x+15)\). Квадратичный множитель положителен. Ответ: \(x=2\).
При \(x<4\): \(3x^3=4-x\Rightarrow3x^3+x-4=0\), откуда \(x=1\). При \(x\ge4\): \(3x^3=x-4\), решений нет, так как левая часть больше правой. Ответ: \(x=1\).
\(x^4-5x-6=0\). Разложение: \((x-2)(x+1)(x^2+x+3)=0\). Ответ: \(x=-1;\ 2\).
ОДЗ: \(x\ne0\). Умножаем на \(12x\): \(12=9x(x+5/3)^2\), то есть \(9x^3+30x^2+25x-12=0\). Разложение: \((3x-1)(3x^2+11x+12)=0\). Второй множитель действительных корней не имеет. Ответ: \(x=\dfrac13\).
ОДЗ: \(x\ne0\). \(4=x^2(x-1)\Rightarrow x^3-x^2-4=0\). \((x-2)(x^2+x+2)=0\). Ответ: \(x=2\).

Ответ: 1) \(1\); 2) \(2\); 3) \(1\); 4) \(-1,\ 2\); 5) \(1/3\); 6) \(2\).