5*. Докажите свойство отклонений от среднего арифметического. Пусть дан набор чисел \(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n\), и их среднее арифметическое равно \(\overline{x}\). Покажите, что сумма всех отклонений равна нулю: \((x_1-\overline{x})+(x_2-\overline{x})+(x_3-\overline{x})+\cdots+(x_n-\overline{x})=0\).

По определению среднего арифметического \(\overline{x}=(x_1+x_2+\cdots+x_n)/n\), поэтому \(x_1+x_2+\cdots+x_n=n\overline{x}\).

Сгруппируем в сумме отклонений все числа набора и вычитаемые средние:

\[(x_1-\overline{x})+(x_2-\overline{x})+\cdots+(x_n-\overline{x})=(x_1+x_2+\cdots+x_n)-n\overline{x}.\]

Подставим равенство \(x_1+x_2+\cdots+x_n=n\overline{x}\):

\[(x_1+x_2+\cdots+x_n)-n\overline{x}=n\overline{x}-n\overline{x}=0.\]

Следовательно, сумма отклонений всех чисел от их среднего арифметического равна нулю.