5. Докажите тождество $\frac{4}{a^2-4a}-\frac{a^2}{4-a}=a+4+\frac{16a+4}{a^2-4a}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. Докажите тождество $\frac{4}{a^2-4a}-\frac{a^2}{4-a}=a+4+\frac{16a+4}{a^2-4a}$.$ Фото задания

Accepted Answer

Область допустимых значений: $a\ne0$, $a\ne4$.

Разложим первый знаменатель и преобразуем вторую дробь:

\[a^2-4a=a(a-4),\qquad -\frac{a^2}{4-a}=\frac{a^2}{a-4}.\]

Левая часть принимает вид:

\[\frac{4}{a(a-4)}+\frac{a^2}{a-4}=\frac{4+a^3}{a(a-4)}.\]

Преобразуем правую часть к тому же знаменателю:

\[a+4+\frac{16a+4}{a(a-4)}=\frac{(a+4)a(a-4)+16a+4}{a(a-4)}.\]

Раскроем скобки:

\[\frac{a^3-16a+16a+4}{a(a-4)}=\frac{a^3+4}{a(a-4)}.\]

Левая и правая части равны, поэтому тождество доказано.

5. Докажите тождество \(\frac{4}{a^2-4a}-\frac{a^2}{4-a}=a+4+\frac{16a+4}{a^2-4a}\).