5. Дробно-рациональное уравнение: 1/(x − 6) + 1/(x + 2) = 1/(x − 7) − 1/(x − 4)

Сначала запишем ограничения: \(x\ne6,-2,7,4\).

Сложим дроби в каждой части уравнения:

\(\dfrac{2(x-2)}{(x-6)(x+2)}=\dfrac{3}{(x-7)(x-4)}\).

При допустимых значениях \(x\) умножим обе части на произведение знаменателей:

\(2(x-2)(x-7)(x-4)=3(x-6)(x+2)\).

Раскроем скобки и перенесём всё в левую часть:

\(2x^3-29x^2+112x-76=0\).

Корни этого кубического уравнения численно равны приблизительно \(0.858\), \(5.335\) и \(8.307\). Ни один из них не нарушает ограничений на знаменатели.

Ответ: \(x\approx0.858;\ 5.335;\ 8.307\).