5. Дробно-рациональное уравнение: 1/(x − 7) − 1/(x − 1) = 1/(x − 10) − 1/(x − 9)

Учитываем область допустимых значений: \(x\ne7,1,10,9\).

Преобразуем разности дробей:

\(\frac{1}{x-7}-\frac{1}{x-1}=\frac{6}{(x-7)(x-1)}\), а \(\frac{1}{x-10}-\frac{1}{x-9}=\frac{1}{(x-10)(x-9)}\).

При допустимых значениях переменной умножим обе части уравнения на произведение знаменателей:

\(6(x-10)(x-9)=(x-7)(x-1)\).

Раскроем скобки и перенесём всё влево:

\(6x^2-114x+540=x^2-8x+7\),

\(5x^2-106x+533=0\).

Дискриминант: \(D=106^2-4\cdot5\cdot533=576\), \(\sqrt D=24\).

\(x=\frac{106\pm24}{10}\), откуда \(x=13\) или \(x=\frac{41}{5}\). Ни одно из значений не нарушает ОДЗ.

Ответ: 13; 41/5.