5. Два автомобиля выехали одновременно из одного города в другой. Скорость одного на 10 км/ч больше скорости второго, поэтому он приехал на 1 час раньше. Найти скорость первого и второго автомобилей, если расстояние между городами 50 км.

Пусть \(v\) — скорость более быстрого автомобиля в км/ч. Тогда скорость второго автомобиля равна \(v-10\) км/ч. Время в пути — расстояние, делённое на скорость.

По условию более медленный автомобиль ехал на 1 час дольше:

\(\frac{50}{v-10}-\frac{50}{v}=1\), где \(v>10\).

Умножим на \(v(v-10)\): \(50v-50(v-10)=v(v-10)\). Получаем \(500=v^2-10v\), то есть \(v^2-10v-500=0\).

Решим квадратное уравнение: \(D=(-10)^2-4\cdot1\cdot(-500)=2100\). Поэтому \(v=\frac{10\pm\sqrt{2100}}{2}=5\pm5\sqrt{21}\). Условию \(v>10\) соответствует \(v=5+5\sqrt{21}\approx27.9\) км/ч.

Скорость второго автомобиля: \(v-10=5\sqrt{21}-5\approx17.9\) км/ч. Проверка: разность времён равна \(\frac{50}{5\sqrt{21}-5}-\frac{50}{5\sqrt{21}+5}=1\) час.

Ответ: первый (более быстрый) автомобиль — \(5+5\sqrt{21}\approx27.9\) км/ч; второй — \(5\sqrt{21}-5\approx17.9\) км/ч.