5. Движения двух мотоциклистов заданы уравнениями x₁ = 15 + t², x₂ = 8t. Описать движение каждого мотоциклиста, найти время и место встречи. Запишите зависимости скорости каждого мотоциклиста от времени.

Координаты мотоциклистов:

\[x_1=15+t^2,\qquad x_2=8t.\]

Для первого мотоциклиста: \(x_{10}=15\) м, начальная скорость равна нулю, движение равноускоренное:

\[x_1=x_{10}+v_{10}t+\frac{at^2}{2},\]

поэтому \(a_1=2\) м/с².

Для второго мотоциклиста движение равномерное, так как координата прямо пропорциональна времени:

\[v_2=8\ \text{м/с},\qquad a_2=0.\]

Место встречи найдём из условия \(x_1=x_2\):

\[15+t^2=8t;\]

\[t^2-8t+15=0;\]

\[(t-3)(t-5)=0.\]

Получаем два момента встречи: \(t_1=3\) с и \(t_2=5\) с.

Координаты встреч:

\[x(3)=8\cdot3=24\ \text{м};\]

\[x(5)=8\cdot5=40\ \text{м}.\]

Зависимости скоростей:

\[v_1(t)=2t\ \text{м/с};\qquad v_2(t)=8\ \text{м/с}.\]

Ответ: встречи произошли через 3 с на расстоянии 24 м и через 5 с на расстоянии 40 м от начала отсчёта.