5. Геометрическая задача с полным оформлением Докажите, что радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной к окружности в этой точке.

Доказательство:

1. Пусть дана окружность с центром в точке О и касательная a, которая касается окружности в точке N.
2. Проведем радиус ON.
3. Предположим, что радиус ON не перпендикулярен касательной a.
4. Это значит, что существует другая точка M на касательной a, такая что OM является перпендикуляром к a, и OM < ON (так как в прямоугольном треугольнике гипотенуза длиннее катета).
5. Если OM < ON, то точка M находится внутри окружности (поскольку радиус равен ON).
6. Но касательная по определению имеет с окружностью только одну общую точку (точку касания N).
7. Если точка M находится внутри окружности, то прямая a, проходящая через M, должна пересекать окружность в двух точках (или быть касательной, если M=N и OM=ON).
8. Это противоречит определению касательной.
9. Следовательно, наше первоначальное предположение неверно. Радиус ON должен быть перпендикулярен касательной a в точке касания N.

Вывод: Радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной к окружности в этой точке.