5. Груз массой 200 г, подвешенный на пружине, совершает свободные вертикальные колебания с частотой 4 Гц. С какой частотой будет совершать такие колебания груз 50 г, если его подвесить на ту же пружину?

Дано:

• \[ m_1 = 200 \text{ г} = 0,2 \text{ кг} \]
• \[
  u_1 = 4 \text{ Гц} \]
• \[ m_2 = 50 \text{ г} = 0,05 \text{ кг} \]
• \[ k = \text{const} \]

Найти:

• \[
  u_2 \text{ - ?} \]

Решение:

Период колебаний математического маятника зависит только от длины подвеса и ускорения свободного падения, а период колебаний пружинного маятника зависит от массы груза и жесткости пружины. Формула для периода колебаний пружинного маятника:

• \[ T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}} \]

где:

• \[ T \] — период колебаний
• \[ m \] — масса груза
• \[ k \] — жесткость пружины

Частота колебаний связана с периодом соотношением:

• \[
  u = \frac{1}{T} \]

Из условия задачи следует, что жесткость пружины extit{k} остается неизменной. Период колебаний пропорционален квадратному корню из массы груза: extit{T ~ \sqrt{m}}. Частота колебаний обратно пропорциональна квадратному корню из массы груза: extit{\ u ~ \frac{1}{\sqrt{m}}}.

Можно записать отношение частот для двух случаев:

• \[ \frac{
  u_2}{
  u_1} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}} \]

Подставим известные значения:

• \[ \frac{
  u_2}{4 \text{ Гц}} = \sqrt{\frac{200 \text{ г}}{50 \text{ г}}} = \sqrt{4} = 2 \]

Отсюда найдем extit{\ u_2}:

• \[
  u_2 = 2 \cdot 4 \text{ Гц} = 8 \text{ Гц} \]

Ответ:

8 Гц