5. Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертеж передней стенки печки и кожуха вокруг топки показан на рис. 2. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.

Решение:

На рисунке 2 показан чертеж кожуха. Ширина кожуха равна 50 см, высота верхней части кожуха равна 60 см. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, которая является частью окружности. Центр этой окружности находится посередине нижней части кожуха.

Рассмотрим верхнюю часть кожуха. Ширина нижней части арки равна ширине кожуха, то есть 50 см. Радиус окружности, описывающей арку, обозначен как R.

Верхняя точка арки находится на высоте 60 см от нижней линии кожуха. Поскольку центр окружности находится на середине нижней части, радиус R равен расстоянию от центра до верхней точки арки.

В прямоугольном треугольнике, образованном половиной ширины арки (25 см), высотой от средней линии до верхней точки арки, и радиусом R:

• Высота от центра (середины нижней части) до верхней точки арки равна R.
• Высота от середины нижней части до верхней точки арки — это 60 см.
• Половина ширины арки составляет \( \frac{50}{2} = 25 \) см.

Таким образом, мы имеем прямоугольный треугольник с катетами 25 см и (60 - R) см (если считать, что 60 см - это высота от нижней линии до верхней точки арки, а R - радиус, проходящий через верхнюю точку), и гипотенузой R.

Используем теорему Пифагора: \( 25^2 + (60-R)^2 = R^2 \)

\( 625 + 3600 - 120R + R^2 = R^2 \)

\( 625 + 3600 - 120R = 0 \)

\( 4225 - 120R = 0 \)

\( 120R = 4225 \)

\( R = \frac{4225}{120} \)

\( R = \frac{845}{24} \approx 35.2 \) см.

Ответ: \( \frac{845}{24} \) см.