5. Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рис. 2. Размеры указаны в сантиметрах. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.

Решение:

На рисунке 2 показан чертёж передней панели печи. Мы видим, что радиус закругления арки R является гипотенузой прямоугольного треугольника. Катетами этого треугольника являются:

• Горизонтальный катет: половина ширины нижней части кожуха, то есть \( \frac{42}{2} = 21 \) см.
• Вертикальный катет: высота от центра окружности до верхней точки арки минус высота нижней части кожуха, то есть \( 72 - 42 = 30 \) см.

Используем теорему Пифагора \( R^2 = a^2 + b^2 \), где \( a \) и \( b \) — катеты, а \( R \) — гипотенуза (радиус закругления).

\[ R^2 = 21^2 + 30^2 \]\[ R^2 = 441 + 900 \]\[ R^2 = 1341 \]\[ R = \sqrt{1341} \]Чтобы найти приближенное значение, можно оценить: \( 30^2 = 900 \), \( 40^2 = 1600 \). Значит, \( R \) находится между 30 и 40. \( 36^2 = 1296 \), \( 37^2 = 1369 \). Таким образом, \( R \) приблизительно равен 36,6 см.

Ответ: \( \sqrt{1341} \) см.