8. Сколько целых чисел расположено между \( 3\sqrt{15} \) и \( 5\sqrt{6} \)?

Решение:

Чтобы определить, сколько целых чисел находится между \( 3\sqrt{15} \) и \( 5\sqrt{6} \), нужно сначала оценить значения этих выражений.

Оценим \( 3\sqrt{15} \):

Мы знаем, что \( \sqrt{9} = 3 \) и \( \sqrt{16} = 4 \). Так как 15 ближе к 16, \( \sqrt{15} \) будет близко к 4, но меньше 4. Примерно \( \sqrt{15} \approx 3,87 \).

\[ 3\sqrt{15} \approx 3 \times 3,87 = 11,61 \]

Для более точной оценки возведём в квадрат:

\[ (3\sqrt{15})^2 = 3^2 \times (\sqrt{15})^2 = 9 \times 15 = 135 \]

Теперь найдем целые числа, квадраты которых находятся между 135 и квадратом второго числа.

Оценим \( 5\sqrt{6} \):

Мы знаем, что \( \sqrt{4} = 2 \) и \( \sqrt{9} = 3 \). Так как 6 находится между 4 и 9, \( \sqrt{6} \) будет между 2 и 3. Примерно \( \sqrt{6} \approx 2,45 \).

\[ 5\sqrt{6} \approx 5 \times 2,45 = 12,25 \]

Для более точной оценки возведём в квадрат:

\[ (5\sqrt{6})^2 = 5^2 \times (\sqrt{6})^2 = 25 \times 6 = 150 \]

Теперь мы ищем целые числа \( n \) такие, что \( 11,61 < n < 12,25 \) или, используя квадраты, \( 135 < n^2 < 150 \).

Целые числа, квадраты которых находятся между 135 и 150:

• \( 11^2 = 121 \) (меньше 135)
• \( 12^2 = 144 \) (больше 135 и меньше 150)
• \( 13^2 = 169 \) (больше 150)

Единственное целое число, квадрат которого находится между 135 и 150, это 12. Следовательно, \( \sqrt{144} = 12 \) находится между \( \sqrt{135} \) (что равно \( 3\sqrt{15} \)) и \( \sqrt{150} \) (что равно \( 5\sqrt{6} \)).

Таким образом, целое число 12 расположено между \( 3\sqrt{15} \) и \( 5\sqrt{6} \).

Ответ: 1