5. Имеет ли решения система [−3x + 2y = 7, 6x − 4y = 14 и сколько

Привет! Давай выясним, есть ли у этой системы решений и сколько их.

Система уравнений:

• \[ \begin{cases} -3x + 2y = 7 \\ 6x - 4y = 14 \end{cases} \]

Есть несколько способов проверить наличие решений:

• Метод подстановки или сложения: Попробуем решить систему.
• Сравнение коэффициентов: Если прямые, заданные уравнениями, параллельны, пересекаются или совпадают.

Давай воспользуемся первым методом — попробуем решить систему.

1. Умножим первое уравнение на 2:
   \[ 2(-3x + 2y) = 2(7) \]
   \[ -6x + 4y = 14 \]
2. Теперь посмотрим на второе уравнение:
   \[ 6x - 4y = 14 \]
3. Обрати внимание: Второе уравнение — это точно такое же уравнение, как и то, что мы получили, умножив первое на 2, но с противоположными знаками у 'x' и 'y'. Если мы сложим эти два уравнения:
   \[ (-6x + 4y) + (6x - 4y) = 14 + 14 \]
   \[ 0 = 28 \]

Мы получили неверное равенство (0 не равно 28). Это значит, что у данной системы нет решений.

Почему так произошло?

Если мы посмотрим на коэффициенты уравнений:

• Первое уравнение: $$-3x + 2y = 7$$
• Второе уравнение: $$6x - 4y = 14$$

Если разделить коэффициенты второго уравнения на коэффициенты первого (или наоборот), мы увидим:

• $$\frac{6}{-3} = -2$$
• $$\frac{-4}{2} = -2$$
• $$\frac{14}{7} = 2$$

Видно, что коэффициенты при $$x$$ и $$y$$ отличаются в -2 раза, а свободные члены — в 2 раза. Это означает, что прямые, заданные этими уравнениями, параллельны и не пересекаются.

Ответ: Система не имеет решений.