5. Исследовать функцию f(x) = x⁴ − 2x² и построить её график.

Рассмотрим функцию \(f(x)=x^4-2x^2\).

1. Область определения и чётность. Область определения: \(D(f)=\mathbb R\). Так как \(f(-x)=f(x)\), функция чётная, поэтому её график симметричен относительно оси \(Oy\).

2. Нули функции.

\(x^4-2x^2=x^2(x^2-2)=0\), поэтому \(x=0\) или \(x=\pm\sqrt2\).

3. Экстремумы и промежутки монотонности.

\(f'(x)=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1)\).

Критические точки: \(x=-1,0,1\).

• функция убывает на \((-\infty;-1)\) и \((0;1)\);
• функция возрастает на \((-1;0)\) и \((1;+\infty)\).

В точках \(x=-1\) и \(x=1\) функция имеет минимумы:

\(f(-1)=f(1)=-1\).

В точке \(x=0\) функция имеет локальный максимум:

\(f(0)=0\).

Так как \(f(x)\to+\infty\) при \(x\to\pm\infty\), абсолютного максимума нет, а абсолютный минимум равен \(-1\).

4. График.

Ответ: функция чётная; нули: \(-\sqrt2,0,\sqrt2\); убывает на \((-\infty;-1)\) и \((0;1)\), возрастает на \((-1;0)\) и \((1;+\infty)\); минимумы в точках \((-1;-1)\) и \((1;-1)\), локальный максимум в точке \((0;0)\).