5. Из одного города в другой, расстояние между которыми 240 км, выезжают одновременно грузовой автомобиль и легковой. Скорость легкового автомобиля на 20 км/ч больше, чем грузового, и приезжает он на 1 час раньше в пункт назначения. Найти скорость грузового автомобиля

Решение:

Пусть \( v_г \) — скорость грузового автомобиля (км/ч), \( v_л \) — скорость легкового автомобиля (км/ч).

Из условия известно, что \( v_л = v_г + 20 \).

Расстояние \( S = 240 \) км.

Время в пути для грузового автомобиля \( t_г = \frac{S}{v_г} = \frac{240}{v_г} \).

Время в пути для легкового автомобиля \( t_л = \frac{S}{v_л} = \frac{240}{v_г + 20} \).

Легковой автомобиль приезжает на 1 час раньше, значит, \( t_г = t_л + 1 \).

Подставим выражения для времени:

\( \frac{240}{v_г} = \frac{240}{v_г + 20} + 1 \) \( \frac{240}{v_г} - \frac{240}{v_г + 20} = 1 \) \( 240 \left( \frac{1}{v_г} - \frac{1}{v_г + 20} \right) = 1 \) \( \frac{(v_г + 20) - v_г}{v_г(v_г + 20)} = \frac{1}{240} \) \( \frac{20}{v_г^2 + 20v_г} = \frac{1}{240} \) \( v_г^2 + 20v_г = 20 × 240 \) \( v_г^2 + 20v_г = 4800 \) \( v_г^2 + 20v_г - 4800 = 0 \)

Решим квадратное уравнение.

Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 20^2 - 4 × 1 × (-4800) = 400 + 19200 = 19600 \).

\( \sqrt{D} = \sqrt{19600} = 140 \).

Найдем скорость грузового автомобиля:

\( v_г = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 \pm 140}{2} \)

Возможны два значения:

\( v_{г1} = \frac{-20 + 140}{2} = \frac{120}{2} = 60 \) \( v_{г2} = \frac{-20 - 140}{2} = \frac{-160}{2} = -80 \)

Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем положительное значение.

Скорость грузового автомобиля \( v_г = 60 \) км/ч.

Проверим:

Скорость легкового автомобиля \( v_л = 60 + 20 = 80 \) км/ч.

Время грузового: \( t_г = \frac{240}{60} = 4 \) часа.

Время легкового: \( t_л = \frac{240}{80} = 3 \) часа.

Разница во времени: \( 4 - 3 = 1 \) час. Условие выполнено.

Ответ: 60 км/ч