5. Из посёлка на станцию, расстояние между которыми 32км, выехал велосипедист. Через 0,5ч навстречу ему со станции выехал мотоциклист и встретил велосипедиста через 0,5ч после своего выезда. Известно, что скорость мотоциклиста на 28км/ч больше скорости велосипедиста. Найдите скорость каждого из них.

Решение:

Обозначим:

• $$v_в$$ — скорость велосипедиста (км/ч)
• $$v_м$$ — скорость мотоциклиста (км/ч)
• $$t_в$$ — время в пути велосипедиста (ч)
• $$t_м$$ — время в пути мотоциклиста (ч)
• $$S$$ — общее расстояние (км)

Известно:

• $$S = 32$$ км
• Мотоциклист выехал через 0,5 ч после велосипедиста.
• Встреча произошла через 0,5 ч после выезда мотоциклиста.
• $$v_м = v_в + 28$$ км/ч

Рассчитаем время в пути каждого:

• Время мотоциклиста в пути: $$t_м = 0,5$$ ч.
• Велосипедист ехал на 0,5 ч дольше мотоциклиста, плюс 0,5 ч до того, как выехал мотоциклист. То есть, велосипедист ехал $$0,5 + 0,5 = 1$$ час.
• $$t_в = 1$$ ч.

Составим уравнение, исходя из того, что сумма расстояний, пройденных велосипедистом и мотоциклистом до момента встречи, равна общему расстоянию:

• $$S_в + S_м = S$$
• $$v_в imes t_в + v_м imes t_м = 32$$
• $$v_в imes 1 + (v_в + 28) imes 0,5 = 32$$

Решим уравнение:

• $$v_в + 0,5v_в + 28 imes 0,5 = 32$$
• $$v_в + 0,5v_в + 14 = 32$$
• $$1,5v_в = 32 - 14$$
• $$1,5v_в = 18$$
• $$v_в = \frac{18}{1,5}$$
• $$v_в = \frac{180}{15}$$
• $$v_в = 12$$ км/ч

Теперь найдем скорость мотоциклиста:

• $$v_м = v_в + 28$$
• $$v_м = 12 + 28$$
• $$v_м = 40$$ км/ч

Проверка:

• Расстояние, пройденное велосипедистом: $$12 ext{ км/ч} imes 1 ext{ ч} = 12$$ км.
• Расстояние, пройденное мотоциклистом: $$40 ext{ км/ч} imes 0,5 ext{ ч} = 20$$ км.
• Общее расстояние: $$12 + 20 = 32$$ км. (Верно)

Ответ: Скорость велосипедиста — 12 км/ч, скорость мотоциклиста — 40 км/ч.