5. Из точки С окружности опущен перпендикуляр CD на её диаметр АВ, AC = 6√2 см. Найдите радиус окружности, если отрезок AD на 10 см меньше отрезка BD.

Решение:

Пусть O — центр окружности, R — её радиус. AB — диаметр. CD \( \perp \) AB. \( AC = 6\sqrt{2} \) см.

\( \triangle ACB \) — прямоугольный, так как вписан в окружность и опирается на диаметр.

По теореме о среднем геометрическом в прямоугольном треугольнике:

\[ AC^2 = AD \cdot AB \]\[ (6\sqrt{2})^2 = AD \cdot (2R) \]\[ 36 \cdot 2 = AD \cdot 2R \]\[ 72 = AD \cdot 2R \]\[ 36 = AD \cdot R \) (1)

Также, \( BC^2 = BD \cdot AB = BD \cdot 2R \).

Из условия \( AD = BD - 10 \).

Подставим \( AD = 2R - BD \) в \( \triangle ACB \):

\[ AC^2 + BC^2 = AB^2 \]\[ (6\sqrt{2})^2 + BC^2 = (2R)^2 \]\[ 72 + BC^2 = 4R^2 \]\[ BC^2 = 4R^2 - 72 \]

Теперь подставим \( BC^2 \) в \( BC^2 = BD \cdot 2R \):

\[ 4R^2 - 72 = BD \cdot 2R \]\[ BD = \frac{4R^2 - 72}{2R} = 2R - \frac{36}{R} \]

Из \( AD = BD - 10 \):

\[ AD = \left( 2R - \frac{36}{R} \right) - 10 \]

Подставим \( AD \) в уравнение (1): \( 36 = AD \cdot R \)

\[ 36 = \left( 2R - \frac{36}{R} - 10 \right) \cdot R \]\[ 36 = 2R^2 - 36 - 10R \]\[ 2R^2 - 10R - 72 = 0 \]\[ R^2 - 5R - 36 = 0 \]

Решим квадратное уравнение для R:

\[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169 \]\[ \sqrt{D} = 13 \]\[ R_1 = \frac{5 + 13}{2} = \frac{18}{2} = 9 \]\[ R_2 = \frac{5 - 13}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]

Так как радиус не может быть отрицательным, \( R = 9 \) см.

Проверим условие \( AD = BD - 10 \).

\( AB = 2R = 18 \) см.

\( 36 = AD \cdot R \) => \( 36 = AD \cdot 9 \) => \( AD = 4 \) см.

\( BD = AB - AD = 18 - 4 = 14 \) см.

\( AD = BD - 10 \) => \( 4 = 14 - 10 \) => \( 4 = 4 \) (верно).

Ответ: 9 см.