5*. Из вершины развёрнутого угла MNR проведены его биссектриса NB и луч NP так, что ∠BNP = 26°. Какой может быть градусная мера угла MNP?

Решение:

Развёрнутый угол MNR равен 180°.

NB — биссектриса, значит, она делит угол MNR на два равных угла:

\( \angle MNB = \angle RNB = \frac{180°}{2} = 90° \)

У нас есть угол RNB = 90°, и луч NP делит его так, что ∠BNP = 26°.

Значит, угол RNP может быть равен:

\( \angle RNP = \angle RNB - \angle BNP \)

\( \angle RNP = 90° - 26° = 64° \)

Теперь рассмотрим, как расположен луч NP относительно угла MNR.

Случай 1: Луч NP находится внутри угла RNB.

Тогда \( \angle MNP = \angle MNB + \angle BNP = 90° + 26° = 116° \)

Случай 2: Луч NP находится внутри угла MNR, но вне угла RNB (то есть, луч NP находится между NR и MN, и угол BNP = 26°).

В этом случае \( \angle RNP = 90° - 26° = 64° \). Тогда \( \angle MNP = \angle MNR - \angle RNP = 180° - 64° = 116° \). Это тот же результат.

Случай 3: Луч NP находится между MN и NB, но угол BNP = 26°.

Тогда \( \angle MNP = \angle MNB - \angle BNP \)

\( \angle MNP = 90° - 26° = 64° \)

Таким образом, возможны два значения для угла MNP.

Ответ: Градусная мера угла MNP может быть 116° или 64°.