5. Касательные в точках А и В к окружности с центром О пересекаются под углом 72°. Найдите угол АВО.

Решение:

Пусть касательные, проведённые из точки \( P \) к окружности с центром \( O \), касаются окружности в точках \( A \) и \( B \). По условию, \( \angle APB = 72^{\circ} \).

Радиусы \( OA \) и \( OB \) перпендикулярны касательным в точках касания, то есть \( \angle OAP = 90^{\circ} \) и \( \angle OBP = 90^{\circ} \).

Рассмотрим четырёхугольник \( OAPB \).

Сумма углов четырёхугольника равна \( 360^{\circ} \).

\( \angle AOB = 360^{\circ} - \angle OAP - \angle OBP - \angle APB \)

\( \angle AOB = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 72^{\circ} \)

\( \angle AOB = 360^{\circ} - 252^{\circ} = 108^{\circ} \).

Теперь рассмотрим треугольник \( \triangle OAB \). \( OA = OB \) (радиусы), значит, \( \triangle OAB \) — равнобедренный.

Углы при основании равны: \( \angle OAB = \angle OBA \).

Сумма углов треугольника \( 180^{\circ} \).

\( \angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^{\circ} \)

\( 2 \angle OBA + 108^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( 2 \angle OBA = 180^{\circ} - 108^{\circ} \)

\( 2 \angle OBA = 72^{\circ} \)

\( \angle OBA = \frac{72^{\circ}}{2} = 36^{\circ} \).

Угол \( \angle OBA \) — это и есть искомый угол \( \angle ABO \).

Ответ: 36°.