5. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3: 4, гипотенуза равна 20 см. Найдите площадь этого треугольника.

Решение:

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны \( 3x \) и \( 4x \). Гипотенуза равна 20 см.

1. Воспользуемся теоремой Пифагора: \( (3x)^2 + (4x)^2 = 20^2 \).
2. Возведем в квадрат: \( 9x^2 + 16x^2 = 400 \).
3. Сложим: \( 25x^2 = 400 \).
4. Найдем \( x^2 \): \( x^2 = \frac{400}{25} = 16 \).
5. Найдем \( x \): \( x = \sqrt{16} = 4 \) см.
6. Вычислим длины катетов: \( a = 3x = 3 \cdot 4 = 12 \) см, \( b = 4x = 4 \cdot 4 = 16 \) см.
7. Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле \( S = \frac{1}{2}ab \).
8. Подставим значения: \( S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 6 \cdot 16 = 96 \) см².

Ответ: 96 см².