5. Мастер может выполнить некоторую работу за 21 ч, а его ученик — за 28 ч. За сколько часов выполнят эту работу мастер и ученик, работая вместе?

Дано:

• Время мастера (t_м) = 21 ч
• Время ученика (t_у) = 28 ч

Найти:

• Время совместной работы (t_совм)

Решение:

1. Найдем, какую часть работы выполняет мастер за 1 час:

\[
\text{Производительность мастера (P_м)} = \frac{1}{t_м} = \frac{1}{21} \text{ работы в час}
\]

2. Найдем, какую часть работы выполняет ученик за 1 час:

\[
\text{Производительность ученика (P_у)} = \frac{1}{t_у} = \frac{1}{28} \text{ работы в час}
\]

3. Найдем их общую производительность, когда они работают вместе:

\[
P_{совм} = P_м + P_у = \frac{1}{21} + \frac{1}{28}
\]

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 21 и 28 — это 84 (21 = 3*7, 28 = 4*7, НОЗ = 3*4*7 = 84).

\[
P_{совм} = \frac{1 \times 4}{21 \times 4} + \frac{1 \times 3}{28 \times 3} = \frac{4}{84} + \frac{3}{84} = \frac{7}{84}
\]

Сократим дробь:

\[
P_{совм} = \frac{\cancel{7}^1}{\cancel{84}^{12}} = \frac{1}{12} \text{ работы в час}
\]

4. Чтобы найти время совместной работы, нужно общее количество работы (которое равно 1) разделить на общую производительность:

\[
t_{совм} = \frac{1}{P_{совм}} = \frac{1}{\frac{1}{12}} = 12 \text{ часов}
\]

Ответ: 12 часов