5. Моторная лодка прошла 10 км против течения реки и 6 км по озеру, затратив на путь по озеру на 30 минут меньше, чем на путь по реке. Найдите скорость лодки по течению, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

Решение:

1. Пусть \( v_{лодки} \) — собственная скорость лодки (км/ч), \( v_{течения} = 2 \) км/ч — скорость течения реки.
2. Скорость лодки против течения: \( v_{против} = v_{лодки} - v_{течения} = v_{лодки} - 2 \) км/ч.
3. Скорость лодки по озеру: \( v_{озеро} = v_{лодки} \) км/ч (течение на озере отсутствует).
4. Время движения против течения: \( t_{против} = \frac{S_{против}}{v_{против}} = \frac{10}{v_{лодки} - 2} \) ч.
5. Время движения по озеру: \( t_{озеро} = \frac{S_{озеро}}{v_{озеро}} = \frac{6}{v_{лодки}} \) ч.
6. По условию, \( t_{озеро} = t_{против} - 0.5 \) ч (30 минут = 0.5 часа).
7. Подставляем выражения для времени: \( \frac{6}{v_{лодки}} = \frac{10}{v_{лодки} - 2} - 0.5 \).
8. Решаем уравнение: \( \frac{10}{v_{лодки} - 2} - \frac{6}{v_{лодки}} = 0.5 \).
9. Приводим к общему знаменателю: \( \frac{10 v_{лодки} - 6(v_{лодки} - 2)}{v_{лодки}(v_{лодки} - 2)} = 0.5 \).
10. \( \frac{10 v_{лодки} - 6 v_{лодки} + 12}{v_{лодки}^2 - 2v_{лодки}} = 0.5 \).
11. \( \frac{4 v_{лодки} + 12}{v_{лодки}^2 - 2v_{лодки}} = 0.5 \).
12. \( 4 v_{лодки} + 12 = 0.5 (v_{лодки}^2 - 2v_{лодки}) \).
13. \( 4 v_{лодки} + 12 = 0.5 v_{лодки}^2 - v_{лодки} \).
14. \( 0.5 v_{лодки}^2 - 5 v_{лодки} - 12 = 0 \).
15. Умножаем на 2: \( v_{лодки}^2 - 10 v_{лодки} - 24 = 0 \).
16. Находим корни квадратного уравнения: \( D = (-10)^2 - 4(1)(-24) = 100 + 96 = 196 \), \( \sqrt{D} = 14 \).
17. \( v_{лодки} = \frac{10 \pm 14}{2} \).
18. \( v_{лодки_1} = \frac{10 + 14}{2} = 12 \) км/ч.
19. \( v_{лодки_2} = \frac{10 - 14}{2} = -2 \) км/ч (не подходит, скорость не может быть отрицательной).
20. Скорость лодки по течению: \( v_{по_течению} = v_{лодки} + v_{течения} = 12 + 2 = 14 \) км/ч.

Ответ: 14 км/ч.