5 На дачном участке есть круглый пруд с центром в точке О. Хозяин участка решил проложить дорожку от дома (точки К) до пруда, которая должна касаться пруда в точке Е. Длина дорожки равна 8 метрам, а угол между радиусом пруда, проведённым в точку Е, и расстоянием КО равен 45°. Определите радиус пруда.

1. Анализ условия:
• Круглый пруд с центром О.
• Дорожка от дома (точка К) до пруда, касательная к пруду в точке Е.
• Длина дорожки КЕ = 8 м.
• Угол между радиусом (ОЕ) и расстоянием КО равен 45°, то есть ДКОЕ = 45°.
2. Свойства касательной:
• Радиус, проведённый к точке касания, перпендикулярен касательной.
• Следовательно, угол ОЕК = 90°.
3. Анализ треугольника КОЕ:
• Треугольник КОЕ является прямоугольным (угол ОЕК = 90°).
• У нас есть известный угол ДКОЕ = 45°.
• Сумма углов в треугольнике равна 180°.
• Угол КОЕ = 180° - 90° - 45° = 45°.
• Поскольку два угла треугольника КОЕ равны (45°), то треугольник КОЕ является равнобедренным.
• Стороны, противолежащие равным углам, равны: ОК = КЕ.
4. Расчет радиуса:
• Мы знаем, что КЕ = 8 м.
• Так как треугольник КОЕ равнобедренный и КЕ = ОК, то ОК = 8 м.
• ОК — это гипотенуза прямоугольного треугольника КОЕ.
• OE — это радиус пруда.
• По теореме Пифагора: $$OK^2 = OE^2 + KE^2$$
• $$8^2 = OE^2 + 8^2$$
• $$64 = OE^2 + 64$$
• $$OE^2 = 64 - 64 = 0$$
• $$OE = 0$$
5. Пересмотр предположений:
• Получилось, что радиус равен 0, что невозможно для пруда.
• Проверим условие: "угол между радиусом пруда, проведённым в точку Е, и расстоянием КО равен 45°".
• Это значит, что угол между отрезками ОЕ и КО равен 45°. Это и есть угол КОЕ.
• Значит, ДКОЕ = 45°.
• Угол ОЕК = 90° (радиус к точке касания).
• В прямоугольном треугольнике КОЕ:
• Сторона КЕ (дорожка) = 8 м.
• Угол КОЕ = 180° - 90° - 45° = 45°.
• Значит, треугольник КОЕ равнобедренный, и стороны, лежащие напротив равных углов, равны: КЕ = ОЕ.
• Следовательно, ОЕ (радиус) = 8 м.

Ответ: Радиус пруда равен 8 метрам.