5*. (На две пятёрки) Докажите свойство отклонений от среднего арифметического. Пусть дан набор чисел x₁, x₂, x₃, …, xₙ и их среднее арифметическое равно x̄. Покажите, что сумма всех отклонений равна нулю: (x₁ − x̄) + (x₂ − x̄) + (x₃ − x̄) + … + (xₙ − x̄) = 0.

По определению среднего арифметического набора чисел \(x_1,x_2,\ldots,x_n\):

\[\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}.\]

Сложим отклонения, сгруппировав отдельно числа и среднее:

\[(x_1-\bar{x})+(x_2-\bar{x})+\cdots+(x_n-\bar{x})=(x_1+x_2+\cdots+x_n)-n\bar{x}.\]

Из определения среднего следует, что \(x_1+x_2+\cdots+x_n=n\bar{x}\). Подставляя это равенство, получаем:

\[(x_1+x_2+\cdots+x_n)-n\bar{x}=n\bar{x}-n\bar{x}=0.\]

Следовательно, сумма отклонений всех чисел набора от их среднего арифметического равна нулю.