5. На фабрике производят лампочки. Вероятность того, что лампочка окажется неисправной, равна 0,03. Перед отправкой каждая лампочка проходит проверку. Вероятность того, что неисправная лампочка будет забракована, равна 0,8. Вероятность того, что исправная лампочка будет ошибочно забракована, равна 0,02. а) Изобразите дерево описанного случайного опыта, подпишите в нём вероятности. б) Найдите вероятность того, что выбранная лампочка будет забракована при проверке.

Решение:

а) Дерево случайного опыта:

Представим дерево событий:

• 1-й уровень: Состояние лампочки
  • Неисправная (Н) с вероятностью 0,03.
  • Исправная (И) с вероятностью 1 - 0,03 = 0,97.
• 2-й уровень: Результат проверки
  • Если лампочка неисправна (Н):
    • Забракована (З) с вероятностью 0,8.
    • Принята (П) с вероятностью 1 - 0,8 = 0,2.
  • Если лампочка исправна (И):
    • Ошибочно забракована (ОЗ) с вероятностью 0,02.
    • Принята (П) с вероятностью 1 - 0,02 = 0,98.

б) Вероятность того, что выбранная лампочка будет забракована при проверке:

Лампочка может быть забракована в двух случаях:

1. Она неисправна И забракована.
2. Она исправна И ошибочно забракована.

Рассчитаем вероятность каждого случая:

• Вероятность (Неисправная И Забракована) = P(Н) * P(З | Н) = 0,03 * 0,8 = 0,024
• Вероятность (Исправная И Ошибочно Забракована) = P(И) * P(ОЗ | И) = 0,97 * 0,02 = 0,0194

Общая вероятность того, что лампочка будет забракована, равна сумме вероятностей этих двух несовместных событий:

\[ P(\text{забракована}) = P(\text{Н и З}) + P(\text{И и ОЗ}) = 0,024 + 0,0194 = 0,0434 \]

Ответ: а) Дерево представлено выше. б) 0,0434