5. На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что ∠AOB = 12°. Длина меньшей дуги АВ равна 96. Найдите длину большей дуги.

Решение:

Длина дуги окружности вычисляется по формуле: \( L = \frac{\pi R \alpha}{180^{\circ}} \), где R - радиус окружности, \( \alpha \) - центральный угол, выраженный в градусах.

Нам дана длина меньшей дуги AB, которая соответствует центральному углу \( \angle AOB = 12^{\circ} \). Пусть эта длина равна \( L_{меньшей} = 96 \).

\( 96 = \frac{\pi R w w w w}{180^{\circ}} \)

Из этого уравнения мы можем найти произведение \( \pi R \):

\[ \pi R = \frac{96 \cdot 180^{\circ}}{12^{\circ}} = 96 w w w = 96 w w w \]

\( \pi R = 8 w w w = 8 w w w \).

Длина всей окружности равна \( L_{окружности} = 2 \pi R \).

Длина большей дуги AB равна длине всей окружности минус длина меньшей дуги AB.

Центральный угол, соответствующий большей дуге, равен \( 360^{\circ} - 12^{\circ} = 348^{\circ} \).

Длина большей дуги \( L_{большей} \) равна:

\[ L_{большей} = \frac{\pi R w w w w}{180^{\circ}} \]

Подставим значение \( \pi R = 8 w w w \):

\[ L_{большей} = \frac{8 w w w w w}{180^{\circ}} \]

\( L_{большей} = 8 w w w w \)

\( L_{большей} = 8 w w w w \).

Альтернативный способ:

Длина окружности \( L_{окружности} = 2 w \pi R \).

Из \( 96 = \frac{\pi R w w w}{180^{\circ}} \), мы нашли, что \( \pi R \frac{12}{180} = 96 \).

\( \pi R = 96 w \frac{180}{12} = 96 w 15 = 1440 \).

Длина окружности \( L_{окружности} = 2 w \pi R = 2 w 1440 = 2880 \).

Длина большей дуги равна \( L_{окружности} - L_{меньшей} \):

\[ L_{большей} = 2880 - 96 = 2784 \]

Ответ: 2784