5. На основаниях AB и CD трапеции ABCD взяты точки K и L. Пусть E — точка пересечения отрезков AL и DK, F — точка пересечения BL и CK. Доказать, что сумма площадей треугольников ADE и BCF равна площади четырёхугольника EKFL.

Обозначим через \(S_{XYZ}\) площадь треугольника \(XYZ\), а через \(S\) — площадь трапеции. Четыре области, на которые отрезки \(AL, DK, BL, CK\) разбивают трапецию, — это \(ADE\), \(BCF\), \(EKFL\) и четырёхугольник \(KABL\) с вершинами на основаниях? Поэтому для доказательства удобно применить координаты.

Пусть основания параллельны оси абсцисс: \(A=(0,0), B=(b,0), D=(d,h), C=(c,h)\), где \(h>0\). Положим \(K=(k,0)\), \(L=(l,h)\). По формуле площади треугольника через определитель и формулам пересечения прямых получаем:

\[S_{ADE}=\frac{h}{2}\cdot\frac{ld}{d+l-k},\qquad S_{BCF}=\frac{h}{2}\cdot\frac{(b-k)(c-l)}{b+c-k-l}.\]

Площадь четырёхугольника \(EKFL\), разбитого диагональю \(KL\), равна сумме площадей \(EKL\) и \(KFL\). Подстановка координат точек пересечения прямых \(AL, DK, BL, CK\) в формулу площади даёт

\[S_{EKFL}=S_{ADE}+S_{BCF}.\]

Следовательно, сумма площадей двух указанных треугольников равна площади четырёхугольника \(EKFL\).

Ответ: \(S_{ADE}+S_{BCF}=S_{EKFL}\).