№5. На параллельных прямых а и b отложены два отрезка. Отрезок AB = 8 см на прямой а, отрезок МК = 14 см на прямой в. Отрезки АК и ВМ пересекаются в точке О. ВМ = 16,5 см. Сделайте рисунок к задаче и найдите длину отрезков ВО и МО.

Решение:

Дано: Прямые a || b. AB = 8 см, MK = 14 см. АК \( ∩ \) BM = O. BM = 16.5 см.

Найти: ВО, МО.

Рисунок:

(Представьте себе рисунок: две параллельные прямые, на верхней - отрезок AB, на нижней - отрезок MK. Отрезки AK и BM пересекаются в точке O.)

Решение:

Рассмотрим треугольники \( \triangle ABO \) и \( \triangle KMO \).

1. \( ∠ AOB = ∠ KOM \) как вертикальные углы.
2. \( ∠ BAO = ∠ MKO \) как накрест лежащие углы при параллельных прямых a и b и секущей AK.
3. \( ∠ ABO = ∠ KMO \) как накрест лежащие углы при параллельных прямых a и b и секущей BM.
4. Следовательно, \( \triangle ABO \sim \triangle KMO \) по трем углам (подобны).

5. Отношение соответственных сторон подобных треугольников равно:
6. \( \frac{AB}{MK} = \frac{BO}{MO} = \frac{AO}{KO} \)
7. Подставим известные значения:
8. \( \frac{8}{14} = \frac{BO}{MO} \)
9. \( \frac{4}{7} = \frac{BO}{MO} \)
10. Это означает, что \( BO = \frac{4}{7} MO \).
11. Также нам известно, что \( BM = BO + MO = 16.5 \) см.
12. Подставим выражение для BO во второе уравнение:
13. \( \frac{4}{7} MO + MO = 16.5 \)
14. \( \left( \frac{4}{7} + 1 \right) MO = 16.5 \)
15. \( \frac{11}{7} MO = 16.5 \)
16. \( MO = 16.5 \cdot \frac{7}{11} \)
17. \( MO = \frac{165}{10} \cdot \frac{7}{11} = \frac{15 \cdot 11}{10} \cdot \frac{7}{11} = \frac{15 \cdot 7}{10} = \frac{3 \cdot 5 \cdot 7}{2 \cdot 5} = \frac{21}{2} = 10.5 \) см.
18. Теперь найдем BO:
19. \( BO = 16.5 - MO = 16.5 - 10.5 = 6 \) см.
20. Или через отношение: \( BO = \frac{4}{7} MO = \frac{4}{7} \cdot 10.5 = 4 \cdot 1.5 = 6 \) см.

Ответ: Длина отрезка ВО равна 6 см, длина отрезка МО равна 10.5 см.