№6. Найдите площадь равнобедренной трапеции с острым углом 45°, основания которой равны 5 см и 11 см.

Решение:

Дано: Равнобедренная трапеция ABCD. \( ∠ D = 45° \) (острый угол). \( AD = BC \). Основания \( a = 11 \) см, \( b = 5 \) см.

Найти: Площадь трапеции S.

Формула площади трапеции:

\( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \), где \( a \) и \( b \) — основания, \( h \) — высота.

Нахождение высоты:

Проведем высоту BH из вершины B к основанию AD (большему основанию).

\( AH = HD \)

\( HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{11 - 5}{2} = \frac{6}{2} = 3 \) см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BHD. Угол \( ∠ D = 45° \).

Так как \( ∠ D = 45° \) и \( ∠ BHD = 90° \), то \( ∠ HBD = 180° - 90° - 45° = 45° \).

Треугольник BHD — равнобедренный прямоугольный треугольник, где \( BH = HD \).

Значит, высота \( h = BH = HD = 3 \) см.

Вычисление площади:

\( S = \frac{11+5}{2} · 3 = \frac{16}{2} · 3 = 8 · 3 = 24 \) см².

Ответ: Площадь равнобедренной трапеции равна 24 см².