№5. На параллельных прямых а и в отложены два отрезка. Отрезок AB = 8 см на прямой а, отрезок МК = 10 см на прямой в. Отрезки AK и ВМ пересекаются в точке О. АК = 13,5 см. Сделайте рисунок к задаче и найдите длину отрезков АО и КО.

Решение:

1. Построим рисунок.

На прямой \( a \) отмечаем точки A и B такие, что \( AB = 8 \) см. На параллельной прямой \( b \) отмечаем точки K и M такие, что \( KM = 10 \) см.

Соединяем точки A с K и B с M. Отрезки AK и BM пересекаются в точке O.

2. Найдем длины отрезков AO и KO.

Рассмотрим треугольники \( \triangle ABO \) и \( \triangle KMO \).

Так как прямые \( a \) и \( b \) параллельны, то \( AB \parallel KM \).

Углы \( \angle OAB \) и \( \angle OKM \) равны как накрест лежащие при параллельных прямых \( a \) и \( b \) и секущей AK.

Углы \( \angle OBA \) и \( \angle OMK \) равны как накрест лежащие при параллельных прямых \( a \) и \( b \) и секущей BM.

Углы \( \angle AOB \) и \( \angle KOM \) равны как вертикальные.

Следовательно, \( \triangle ABO \) подобен \( \triangle KMO \) по трем углам.

Из подобия треугольников следует соотношение длин их сторон:

\[ \frac{AB}{KM} = \frac{AO}{KO} = \frac{BO}{MO} \]

По условию \( AB = 8 \) см, \( KM = 10 \) см, \( AK = 13.5 \) см.

Мы знаем, что \( AK = AO + KO \).

Из соотношения подобия:

\[ \frac{AO}{KO} = \frac{AB}{KM} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \]

Пусть \( AO = 4x \) и \( KO = 5x \).

Тогда \( AK = AO + KO = 4x + 5x = 9x \).

По условию \( AK = 13.5 \) см.

\[ 9x = 13.5 \]

\[ x = \frac{13.5}{9} = 1.5 \]

Теперь найдём длины отрезков AO и KO:

\[ AO = 4x = 4 \times 1.5 = 6 \] см.

\[ KO = 5x = 5 \times 1.5 = 7.5 \] см.

Проверка: \( AO + KO = 6 + 7.5 = 13.5 \) см, что соответствует условию.

Ответ: Длина отрезка AO равна 6 см, длина отрезка KO равна 7.5 см.