5. На рис. 17 ABCD — параллелограмм, DE — биссектриса треугольника AED, AD = 7 см, BE = 8 см. Найдите периметр четырёхугольника BCDE.

По рисунку E лежит на AB, а AE = DE (это отмечено засечками). Так как DE — биссектриса треугольника AED, ∠ADE = ∠EDB. Учитывая, что DE — биссектриса угла ADC, получаем ∠ADE = ∠EDB = половина угла ADC.

Углы A и D параллелограмма смежные, а ∠DAE — это угол A. Из равенства AE = DE следует равенство углов, лежащих напротив этих сторон: ∠ADE = ∠DAE. Тогда угол A равен половине угла D; вместе со смежностью углов параллелограмма это даёт ∠A = 60° и ∠ADE = 60°. Следовательно, треугольник AED равносторонний, и AE = DE = AD = 7 см.

В параллелограмме BC = AD = 7 см, CD = AB. При этом AB = AE + BE = 7 + 8 = 15 см, значит, CD = 15 см.

Периметр BCDE: 7 + 15 + 7 + 8 = 37 см.

Ответ: 37 см.