5. На рис. 40 ∠BOC = 0,5∠AOB, ∠BOC:∠COD = 1:3. Докажите, что OC — биссектриса угла AOD.

Обозначим \(\angle BOC=x\). Из условия \(\angle BOC=0{,}5\angle AOB\), значит \(\angle AOB=2x\).

По отношению \(\angle BOC: \angle COD=1:3\) имеем \(\angle COD=3x\).

Луч \(OC\) лежит внутри угла \(BOD\), поэтому \(\angle BOD=\angle BOC+\angle COD=x+3x=4x\). Тогда \(\angle AOC=\angle AOB+\angle BOC=2x+x=3x\).

Получили \(\angle AOC=\angle COD=3x\). Следовательно, \(OC\) делит угол \(AOD\) на два равных угла и является его биссектрисой.

Доказано.