5. На рисунке 13 изображён ромб \(ABCD\), где \(\overrightarrow{AB}=\vec a\) и \(\overrightarrow{AD}=\vec b\), \(K\) — середина \(AD\), \(AP=2PB\). Выразите через векторы \(\vec a\) и \(\vec b\) следующие векторы: а) \(\overrightarrow{AC}\); б) \(\overrightarrow{CB}\); в) \(\overrightarrow{AK}\); г) \(\overrightarrow{PA}\).

а) Диагональ параллелограмма равна сумме векторов двух его сторон, выходящих из одной вершины: \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\vec a+\vec b\).

б) Противоположные стороны параллелограмма равны и сонаправлены при соответствующем обходе: \(\overrightarrow{BC}=\vec b\), следовательно, \(\overrightarrow{CB}=-\vec b\).

в) Так как \(K\) — середина \(AD\), то \(\overrightarrow{AK}=\frac12\overrightarrow{AD}=\frac12\vec b\).

г) Из \(AP=2PB\) следует, что \(AP:AB=2:3\), поэтому \(\overrightarrow{AP}=\frac23\vec a\). Значит, \(\overrightarrow{PA}=-\frac23\vec a\).

Ответ: а) \(\vec a+\vec b\); б) \(-\vec b\); в) \(\frac12\vec b\); г) \(-\frac23\vec a\).