5. На рисунке хорда АС пересекает диаметр КР в точке М, ∠ABM = ∠MEC = 90°, ∠CME = 60°, AC = 18 см. Найдите отрезок ВЕ.

Решение:

Дано: \( AC = 18 \) см, \( \angle ABM = 90° \), \( \angle MEC = 90° \), \( \angle CME = 60° \).

\( \angle CME = 60° \) — центральный угол, опирающийся на дугу \( CE \).

Угол \( \angle CAE \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( CE \). Поэтому \( \angle CAE = \frac{1}{2} \angle CME = \frac{60°}{2} = 30° \).

В \( \triangle ABM \), \( \angle ABM = 90° \). \( \angle BAM = \angle CAE = 30° \).

\( \angle AMB = 180° - 90° - 30° = 60° \).

\( \angle CMA \) — развёрнутый угол, \( \angle CMA = 180° \).

\( \angle AMC = 180° - \angle AMB = 180° - 60° = 120° \) (если \( B, M, D \) лежат на одной прямой).

Рассмотрим \( \triangle AMC \). \( \angle MAC = 30° \), \( \angle AMC = 180° - \angle AMB \).

\( \angle CMB = 180° - \angle AMB = 180° - 60° = 120° \).

В \( \triangle CME \), \( \angle MEC = 90° \), \( \angle CME = 60° \).

\( \angle MCE = 180° - 90° - 60° = 30° \).

Теперь рассмотрим \( \triangle AMC \). \( \angle MAC = 30° \), \( \angle MCA = \angle MCE = 30° \).

Значит, \( \triangle AMC \) — равнобедренный, \( AM = MC \).

Так как \( AC = 18 \) см, то \( AM = MC = \frac{18}{2} = 9 \) см.

Теперь рассмотрим \( \triangle ABM \). \( \angle ABM = 90° \), \( \angle BAM = 30° \), \( AM = 9 \) см.

\( BM = AM \cos(30°) = 9 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2} \) см.

\( AB = AM \sin(30°) = 9 \times \frac{1}{2} = 4.5 \) см.

Теперь рассмотрим \( \triangle MEC \). \( \angle MEC = 90° \), \( \angle CME = 60° \), \( MC = 9 \) см.

\( EC = MC \sin(60°) = 9 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2} \) см.

\( ME = MC \cos(60°) = 9 \times \frac{1}{2} = 4.5 \) см.

\( BE = BM + ME = \frac{9\sqrt{3}}{2} + 4.5 = \frac{9\sqrt{3} + 9}{2} = \frac{9(\sqrt{3} + 1)}{2} \) см.

Ответ: \(\frac{9(\sqrt{3} + 1)}{2}\) см.