5. На рисунке хорда АС пересекает диаметр КР в точке М, ∠ABM = ∠MEC = 90°, ∠CME = 60°, AC = 18 см. Найдите отрезок ВЕ.

Дано:

• Хорда AC пересекает диаметр KP в точке M.
• ∠ABM = 90°, ∠MEC = 90°.
• ∠CME = 60°.
• AC = 18 см.

Найти: BE

Решение:

1. В треугольнике CME: \( \angle MEC = 90° \) и \( \angle CME = 60° \).
2. Тогда \( \angle MCE = 180° - 90° - 60° = 30° \).
3. В прямоугольном треугольнике MEC, \( ME = EC an(30°) = EC rac{1}{\sqrt{3}} \) и \( MC = \frac{EC}{\cos(30°)} = \frac{EC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2EC}{\sqrt{3}} \).
4. Также \( ME = MC an(60°) = MC rac{1}{\sqrt{3}} \).
5. Угол ACB — вписанный, опирается на диаметр KP. Точка E лежит на окружности.
6. ∠AEC = 180° - ∠CME = 180° - 60° = 120° (развернутый угол, если M лежит между K и P). Если M - точка пересечения, то ∠AME = 180° - 60° = 120°.
7. ∠AMC = 180° - ∠CME = 180° - 60° = 120° (или ∠AME = 180° - ∠CME = 120°).
8. \( ∠AME = 120° \). В треугольнике ABM: \( ∠ABM = 90° \).
9. \( ∠BAM + ∠AMB = 90° \).
10. \( ∠AMB = 180° - ∠AME = 180° - 120° = 60° \) (смежный угол).
11. \( ∠BAM + 60° = 90° \) => \( ∠BAM = 30° \).
12. В прямоугольном треугольнике ABM: \( BM = AM an(30°) = AM rac{1}{\sqrt{3}} \) и \( AB = \frac{AM}{\cos(30°)} = \frac{2AM}{\sqrt{3}} \).
13. \( MC = AC - AM = 18 - AM \).
14. У нас есть \( \angle MCE = 30° \).
15. Рассмотрим треугольник CME: \( ME = CM an(60°) \).
16. Из \( ∠MCE = 30° \) в \( \triangle MEC \) (где \( ∠MEC = 90° \)): \( ME = EC an(30°) \) и \( MC = \frac{EC}{\cos(30°)} \).
17. Из \( ∠BAM = 30° \) в \( \triangle ABM \) (где \( ∠ABM = 90° \)): \( BM = AM an(30°) \) и \( AB = \frac{AM}{\cos(30°)} \).
18. \( AC = AM + MC = 18 \).
19. \( an(30°) = rac{1}{\sqrt{3}} \), \( an(60°) = rac{\sqrt{3}}{1} \).
20. \( BM = rac{AM}{\sqrt{3}} \). \( ME = rac{MC}{\sqrt{3}} \).
21. \( BE = BM + ME = rac{AM}{\sqrt{3}} + rac{MC}{\sqrt{3}} = rac{AM + MC}{\sqrt{3}} = rac{AC}{\sqrt{3}} \).
22. \( BE = rac{18}{\sqrt{3}} = rac{18 imes \sqrt{3}}{3} = 6 imes sqrt(3) \).

Ответ: \( 6 sqrt(3) \) см